Filosofia della matematica...Filosofia della matesis...metafisica della mathesix...creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificat
Filosofia della matematica...Filosofia della matesis...metafisica della mathesix...creazione di equazioni, che costituiscono il punto di partenza indispensabile di tutte le ricerche analitiche. Ma questo lavoro preliminare è stato notevolmente semplificato dalla creazione di analisi trascendente, che ha così accelerato il momento in cui la soluzione ammette di uniforme e precisa applicazione dei metodi generali e astratti; riducendo, in ogni caso, questo lavoro speciale alla ricerca delle equazioni tra le grandezze ausiliari; da cui il calcolo porta poi a equazioni direttamente riferiti alle grandezze proposte, che, prima di questa concezione ammirevole, era stato necessario stabilire direttamente e separatamente. Se queste equazioni indiretti sono differenziali equazioni, secondo l'idea di Leibnitz, o equazioni di limiti, conformably alla concezione di Newton, o, infine, derivati equazioni, secondo la teoria di Lagrange, la procedura generale è evidentemente sempre la stessa.
Ma la coincidenza di questi tre metodi principali non è limitata all'effetto comune che producono; esiste, inoltre, nel modo stesso di ottenimento. In realtà, non solo fare tutte e tre considerano, al posto delle grandezze primitive, alcune quelli ausiliari, ma, ancora più in là, le quantità così introdotti come filiale sono esattamente identici nelle tre metodi, che di conseguenza differiscono solo nel modo di visione loro. Questo può essere facilmente dimostrare prendendo per il termine generale di confronto una qualsiasi delle tre concezioni, soprattutto quella di Lagrange, che è il più adatto per servire come un tipo, come il più libero da considerazioni estere. Non è evidente, per la stessa definizione di derivati FUNC zioni, che non sono altro che ciò Leibnitz chiama differenziali coefficienti oi rapporti di differenziale di ogni funzione a quello della variabile corrispondente, in quanto, nel determinare il differenziale primo, saremo costretti, per la natura stessa del metodo infinitesimo, limitarsi a prendere l'unico termine del l'incremento della funzione che contiene la prima alimentazione di infinitamente piccolo incremento della variabile? Allo stesso modo, non è la funzione derivata, per sua natura, allo stesso modo il necessario limite verso cui tende il rapporto tra l'incremento della funzione primitiva e quella della sua variabile, nella misura in cui quest'ultimo diminuisce indefinitamente, in quanto esprime evidentemente quello tale rapporto diventa quando si suppone l'incremento della variabile
per essere uguale a zero? Ciò che è designato dal - nel
dx
Metodo di Leibnitz; ciò che dovrebbe essere notato come
Ay L - in quella di Newton; e ciò che ha Lagrange
ASCIA
indicato con / '(z), è sempre una stessa funzione, visto da tre diversi punti di vista, le considerazioni di Leibnitz e Newton correttamente consistente nel far conoscere due proprietà necessarie generali della funzione derivata. L'analisi trascendente, esaminato astrattamente e nel suo principio, è quindi sempre lo stesso, qualunque sia la concezione che viene adottato, e le procedure di calcolo di funzioni indirette sono necessariamente identici in questi diversi metodi, che in modo analogo devono, ad qualsiasi applicazione qualunque sia, portano risultati costantemente uniformi rigore.
VALORE COMPARATIVA DEI TRE METODI.
Se ora cerchiamo di stimare il valore comparativo di questi tre concetti equivalenti, ci troveremo in ogni vantaggi e gli inconvenienti che le sono proprie, e che ancora impedisce geometri da limitandosi a uno qualsiasi di loro, considerati come finale.
Quella di Leibnitz. La concezione di Leibnitz presenta incontestabilmente, in tutte le sue applicazioni, una marcata superiorità, guidando in modo molto più rapido, e con uno sforzo molto meno mentale, alla formazione di
H
equazioni tra le grandezze ausiliarie. E 'al suo utilizzo che si deve l'alta perfezione che è stata acquisita da tutte le teorie generali della geometria e della meccanica. Qualunque sia le diverse opinioni speculativi di geometri rispetto al metodo infinitesimo, in un punto astratta di vista, tutte tacitamente concordano nell'impiegare entro preferenza, non appena essi devono trattare una nuova domanda, per non complicare la necessaria difficoltà da questo ostacolo puramente artificiale procedendo da un accanimento fuori luogo l'adozione di un corso meno rapido. Lagrange se stesso, dopo aver ricostruito l'analisi trascendentale su nuove basi, ha (con quella franchezza nobile, che così bene adatto suo genio) ha reso un suggestivo ed omaggio decisivo alle proprietà caratteristiche della concezione di Leibnitz, seguendo esclusivamente in tutto il sistema della sua Mecanique Analy tique. Tale fatto rende inutile qualsiasi commento. Ma se consideriamo la concezione di Leibniz in se stesso e nelle sue relazioni logiche, non possiamo sfuggire ammettendo, con Lagrange, che è radicalmente vizioso in questo, che, adottando le sue espressioni, la nozione di infinitamente piccole quantità è & falsa idea, di cui è di fatto impossibile ottenere un concepimento chiaro, tuttavia possiamo ingannarci quella materia. Anche se adottiamo l'idea geniale di compensazione di errori, come sopra spiegato, questo comporta l'inconveniente radicale di essere obbligati a distinguere in matematica due classi di ragionamenti, quelli che sono perfettamente rigoroso, e quelli in cui abbiamo designedly commettiamo errori che successivamente essere compensata. Una concezione che porta a tali strane conseguenze è indubbiamente molto soddisfacente in un punto logico di vista.
